בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 56
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
ישר היוצא מן הנקודה E חותך את המעגל בנקודות A ו־B.
D היא נקודה על הקשת הגדולה AB כך ש־ED משיק למעגל.
הנקודה C היא אמצע המיתר AB, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢DOA = 2t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי המרחק של מרכז המעגל מן המיתר AB הוא 0.5R.
א. הביעו באמצעות t את הזוויות של המרובע DOCE.
ב. הביעו באמצעות t ו־R את אורך המשיק DE.
נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AOD הוא 4R7.
ג. מצאו את t.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את היחס בין שטח המעגל החוסם את המרובע DOCE ובין שטח המעגל שמרכזו O.
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE
ED משיק ו־OD רדיוס לנקודת ההשקה:
📐 משיק ורדיוס
∢ODE = 90
OC מחבר את המרכז לאמצע המיתר AB:
📐 קטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר
∢OCE = 90
במשולש OCA (ישר זווית ב־C): OA = R , OC = 0.5R:
cos∢AOC = OCOA
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
📐 משיק ורדיוס
הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
📐 קטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר
מאונך למיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos∢ = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE · המשך
cos∢AOC = OCOA
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
נציב OC = 0.5R ו־OA = R:
cos∢AOC = 0.5RR = 0.5
∢AOC = 60
∢DOC = ∢DOA + ∢AOC
נציב ∢DOA = 2t ו־∢AOC = 60:
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos∢ = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE · המשך
נציב ∢DOA = 2t ו־∢AOC = 60:
∢DOC = 2t + 60
∢DEC = 360 − ∢ODE − ∢OCE − ∢DOC
📐 סכום הזוויות במרובע
נציב ∢ODE = ∢OCE = 90 ו־∢DOC = 60 + 2t:
∢DEC = 360 − 90 − 90 − (60 + 2t)
∢DEC = 120 − 2t
📐 סכום הזוויות במרובע
360 מעלות
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE · המשך
∢DEC = 120 − 2t
✅ פתרון סופי: ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t
סעיף ב – אורך המשיק DE
נעבוד במשולש ADE.
במשולש AOD שווה השוקיים (OA = OD = R), עם זווית ראש 2t:
זוויות הבסיס: ∢OAD = ∢ODA = 90 − t.
ADsin∢AOD = OAsin∢ODA
נציב ∢AOD = 2t , OA = R ו־∢ODA = 90 − t:
ADsin2t = Rsin(90 − t)
📐 משפט הסינוסים
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B
סעיף ב – אורך המשיק DE · המשך
ADsin2t = Rsin(90 − t)
📐 משפט הסינוסים
sin(90 − t) = cos t
📐 זהות
sin2t = 2 sin t cos t
📐 סינוס של זווית כפולה
AD = R · sin2tsin(90 − t)
נציב את שתי הזהויות:
AD = R · 2 sin t cos tcos t = 2R sin t
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B
📐 זהות
sin(90 − x) = cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
sin2x = 2 sin x cos x
סעיף ב – אורך המשיק DE · המשך
AD = R · 2 sin t cos tcos t = 2R sin t
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת DA, כלומר לחצי הזווית המרכזית ∢DOA:
📐 זווית בין משיק למיתר
∢ADE = ∢DOA2
נציב ∢DOA = 2t:
∢ADE = 2t2 = t
לפי סעיף א, ∢AED = ∢DEC = 120 − 2t. סכום הזוויות במשולש ADE:
📐 זווית בין משיק למיתר
שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
סעיף ב – אורך המשיק DE · המשך
לפי סעיף א, ∢AED = ∢DEC = 120 − 2t. סכום הזוויות במשולש ADE:
∢DAE = 180 − ∢ADE − ∢AED
נציב ∢ADE = t ו־∢AED = 120 − 2t:
∢DAE = 180 − t − (120 − 2t)
∢DAE = 60 + t
DEsin∢DAE = ADsin∢AED
📐 משפט הסינוסים
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B
סעיף ב – אורך המשיק DE · המשך
DEsin∢DAE = ADsin∢AED
📐 משפט הסינוסים
נציב ∢DAE = 60 + t , AD = 2R sin t ו־∢AED = 120 − 2t:
DEsin(60 + t) = 2R sin tsin(120 − 2t)
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
✅ פתרון סופי: DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B
סעיף ג – הערך של t
במשולש AOD: AD = 2R sin t (סעיף ב), והזווית שמולה ∢AOD = 2t. רדיוס המעגל החוסם הוא 4R7:
ADsin∢AOD = 2 · 4R7
📐 משפט הסינוסים
נציב AD = 2R sin t ו־∢AOD = 2t, ולפי הזהות sin2t = 2 sin t cos t:
2R sin t2 sin t cos t = 8R7
Rcos t = 8R7
cos t = 78
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = 2R
סעיף ג – הערך של t · המשך
cos t = 78
t ≈ 28.96
✅ פתרון סופי: t ≈ 28.96 מעלות
סעיף ד – יחס השטחים
במרובע DOCE יש שתי זוויות ישרות מול הקטע OE (סעיף א), ולכן OE הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע.
הזווית ההיקפית ∢ODE = 90 נשענת על קוטר: הרדיוס של המעגל החוסם הוא OE2.
📐 זווית היקפית
נחשב את DE עם t ≈ 28.96:
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
נציב t ≈ 28.96:
DE = 2R sin28.96 · sin88.96sin62.09 ≈ 1.0955R
📐 זווית היקפית
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
סעיף ד – יחס השטחים · המשך
DE = 2R sin28.96 · sin88.96sin62.09 ≈ 1.0955R
OE2 = OD2 + DE2
📐 משפט פיתגורס
נציב OD = R ו־DE ≈ 1.0955R:
OE2 = R2 + (1.0955R)2
OE2 = R2 + 1.2001R2 = 2.2001R2
S1S = π(OE2)2πR2 = OE24R2
📐 שטח עיגול
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
📐 שטח עיגול
S = πr2
סעיף ד – יחס השטחים · המשך
S1S = π(OE2)2πR2 = OE24R2
📐 שטח עיגול
נציב OE2 = 2.2001R2:
S1S = 2.2001R24R2 ≈ 0.55
✅ פתרון סופי: ≈ 0.55
📐 שטח עיגול
S = πr2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t
סעיף ב
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
סעיף ג
t ≈ 28.96 מעלות
סעיף ד
≈ 0.55
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא